振動(dòng)篩分機(jī)有限元計(jì)算精度與穩(wěn)定性分析

    有限元分析的目的是利用分析結(jié)果驗(yàn)證、修改并優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，所以保證精度與計(jì)算穩(wěn)定性是建模首要考慮的問題。有限元分析是一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過程，計(jì)算結(jié)果精度與很多因素有關(guān)，因而對結(jié)果精度做出定量估計(jì)非常困難。通過誤差分析，找出有限元分析過程中產(chǎn)生誤差的原因，然后定性的提出提高結(jié)果精度的方法，使計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定可靠。
    從有限元分析的整個(gè)過程來看，計(jì)算結(jié)果的誤差主要來自兩個(gè)方面：模型誤差和計(jì)算誤差。計(jì)算誤差是利用計(jì)算機(jī)對模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)所產(chǎn)生的誤差，誤差的性質(zhì)是舍入誤差和截?cái)嗾`差，在此不作考慮，主要對模型誤差進(jìn)行分析。模型誤差是指將實(shí)際問題抽象為適合計(jì)算機(jī)求解的有限元模型時(shí)所產(chǎn)生的誤差，即有限元模型和實(shí)際問題之間的差異。產(chǎn)生這類誤差的原因主要有以下三種。

    （1）離散誤差有限元法是將一個(gè)連續(xù)的彈性體離散為由有限個(gè)單元組成的組合體，并在單元內(nèi)用一假設(shè)的插值函數(shù)逼近真實(shí)函數(shù)。這樣插值函數(shù)與真實(shí)函數(shù)之間存在一定的差異，即離散誤差，其量級可以用式（5-51）來估計(jì)[114]。式中，h為單元特征長度尺寸； p 為單元多項(xiàng)式的最高階次；m 為函數(shù)在泛函中的 最高階倒數(shù)。從式（5-51）可知，離散誤差的大小與單元尺寸和插值多項(xiàng)式的階次有關(guān)。單元尺寸減小，插值函數(shù)的階次增高，都將使誤差減小，即，使有限元解收 斂于精確解。因此式（5-51）也對有限元解的收斂速度做出了量級估計(jì)。
    例如，對于三節(jié)點(diǎn)三角形位移單元，差值函數(shù)是線性函數(shù)，即 p = 1。由于在能 量泛函中只有位移函數(shù)本身，沒有位移導(dǎo)數(shù)，即 m = 0，所以位移誤差是 2 O ( h )，收 斂的速度也是 2 O ( h )。若用六節(jié)點(diǎn)三角形單元，差值函數(shù)是二次函數(shù)，則誤差和收 斂速度的量級變?yōu)?3 O ( h )。因此，如果所有單元的尺寸都減半，則三節(jié)點(diǎn)單元的誤 差級數(shù)為1 4，而六節(jié)點(diǎn)單元的誤差級數(shù)為1 8。后者的收斂速度比前者要快一倍。 圖 5-1 描述了單元尺寸和插值函數(shù)階次對于離散誤差的影響，（b）與（a）相比，說 明離散時(shí)所選取的單元尺寸減半或提高階次，則誤差精度將會(huì)減小，同時(shí)由式（5-51） 可知其收斂的速度增加。
    （2）邊界條件誤差
    進(jìn)行有限元分析時(shí)，在分析結(jié)構(gòu)與其它結(jié)構(gòu)或外部環(huán)境的相互作用時(shí)，通過在模型上設(shè)置已知的邊界條件來表示。將結(jié)構(gòu)實(shí)際工況量化為模型邊界條件時(shí)，兩者之間可能存在一定的差異，即為邊界條件誤差。邊界條件誤差來自兩個(gè)方面。第一是對實(shí)際工況進(jìn)行定量表示時(shí)產(chǎn)生的，屬于測量誤差，有較大的偶然性。只有較準(zhǔn)確地掌握實(shí)際受力大小、位移狀態(tài)和溫度分布才能減小這類誤差。第二類邊界條件誤差來自載荷的移置，這是有限元法離散所引起的。由于在有限元計(jì)算過程中，設(shè)置在模型上的所有非節(jié)點(diǎn)集中載荷、分布的棱邊載荷、表面載荷以及體積力等都需要移置為等效的節(jié)點(diǎn)載荷，這與結(jié)構(gòu)的實(shí)際載荷情況并不一致，因而也會(huì)帶來一定的誤差。根據(jù)圣維南原理，振動(dòng)篩分機(jī)載荷移置僅對載荷附近的局部特性有影響，而對整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能影響不大。當(dāng)需要考察結(jié)構(gòu)在載荷附近的局部特性時(shí)，可以通過加密網(wǎng)格的方法來減小載荷移置的影響。
    （3）單元形狀誤差
    單元的網(wǎng)格形狀對計(jì)算結(jié)果的誤差大小有影響。如三節(jié)點(diǎn)三角形內(nèi)部應(yīng)力的誤差可以用式（5-52）來估計(jì)： 2 E ≤ 4 M h / sinθ（5-52） 式中， 2 M 為真實(shí)位移場函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在單元上的最大模； h 為三角形的最大邊 長；θ 為三角形的最大內(nèi)角。 可以看出，當(dāng)單元的三角形網(wǎng)格很“鈍”時(shí)，最大內(nèi)角θ 接近180o，sinθ 近似 為零。出現(xiàn)這種情況時(shí)，即使單元分得很小，應(yīng)力誤差仍可能非常大，所以在分網(wǎng) 時(shí)要盡量避免出現(xiàn)這類不規(guī)則的形狀。單元形狀對誤差的影響一般限于單元內(nèi)部或 相鄰單元，因此當(dāng)整個(gè)模型中存在少數(shù)形狀較差的單元時(shí)，對整個(gè)模型的變形不會(huì) 影響太大，但對局部應(yīng)力的影響較大，因此在應(yīng)力集中時(shí)盡量劃分比較規(guī)則的網(wǎng)格。